Aufgaben zu Vierecke, Spezialfall: Sehnenvierecke

Aufgabe 1

Ein rechtwinkliger Drachen entsprechend der nebenstehenden Skizze hat eine 9 cm lange Seite AD und eine 7.2 cm lange Diagonale BD

a) Berechnen Sie die Innenwinkel α und γ sowie die Länge der Seite BC.

b) Welchen Flächeninhalt hat der Umkreis dieses Drachenvierecks?  

Lösung:

a) sin (½α) = 3.6/9 = 0.4 → α = 2·23.58°= 47,16°

γ = 180° - 47.16° =132,84°

3.6 /BC = sin (½γ) → BC = 3.6/sin (66.42°) = 3,9279765 = 3.93 cm

b)

AC = √ {9² +3.93²} = 9,82 → r = 4.91

A= 75.74764732 = 75.75 cm²

Aufgabe 2

BD = 10 cm

∠BDC = 60°

a = d + 2 cm

α = 85 °

∠ BCH = 45°

Berechnen Sie den Umfang und die Fläche des Vierecks ABCD. Lösung:

u = a + b + c + d =8.32 + 8.96 + 7.32 +6.32 = 30.92

A_tot = 57.86 cm²

Aufgabe 3

In einem Sehnenviereck sind die Seiten a = 5.0 cm, b = 3.2 cm, d = 3.4 cm und der Winkel α = 80° gegeben. Berechnen Sie die beiden Diagonalen e und f sowie den Winkel β.

Lösung:

f² = a² + d² – 2 a·d·cos α = 5²+ 3.4² – 2·5·3.4·cos 80° = 30,65596 → f = 5,5367826

β₁ : sin 80° ÷ 5.53 = sin(β₁) ÷ 3,4

 sin β₁ = 3.4·sin 80 ÷ 5.53 =0,6054875

β₁= 37,2639°

δ₂ : sin 100° ÷ 5.53 = sin γ₁ ÷ 3.2 →sin γ₁ = 0,56987067→ γ₁ = 34,741°

β₂ = 180° -100° - 34.74° = 45,26°

β = 45.26° + 37.26° = 82,52°

e² = 5² + 3.2² –2·5·3.2 cos (82.52°) = 31,07423 = 31.07° → e = 5,5744270 = 5.57

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖

Aufgabe 4    Trapez

Von einem Trapez ABCD mit den parallelen Seiten a = 9 cm und c = 4 cm sind noch der Winkel α = 55° und die Diagonale f = BD = 11 cm gegeben.

Wie lang ist die Diagonale e?

Lösung:

11² = d² - 2 ·9 d·cos(55°) →  d =13.3 cm   d= -3 (Schein)

e² = 13.33² + 4² - 2 ·13.33 · 4 ·cos 125° = 254.9 → e = 15.97 cm

Aufgabe 5

Von einem Sehnenviereck (Viereck mit Umkreis) ABCD kennen wir die Seiten a = AB = 5 cm und c = CD = 4.3 cm, die Diagonale e = AC = 5.4 cm und der Winkel β = 94° in der Ecke B.

Gesucht wird die Länge der Seite b und der Winkel α in der Ecke A.

Lösung:

1. Möglichkeit:

5.4 ÷ {sin 94°} = 5 ÷ {sin γ₁} → sin γ₁ = 5 over 5.4 · sin 94° = 0.9236 → γ₁ = 67.4687 = 67.47°

α₂ = 180° – 94° – 67.47° = 18.53°

b ÷ {sin 18.53°} = 5.4 ÷ {sin 94°} → b = {sin 18.53°} ÷ {sin 94°} · 5.4 = 1.7203168369 = 1.72 cm

2. Möglichkeit:

5.4² = 5² + b²  - 10 b·cos (94°) → b= -2.418 (Schein)    oder b = 1.72

sin α₂ = 4.3 ÷ 5.4  · sin 86 → α = 52.6°

sin α₁= 1.72 ÷ 5.4 · sin 94° → α = 18.52 °

also α = 71.1°

Aufgabe 6

Berechnen Sie Umfang und Fläche des Sehnenvierecks, von welchem folgende Grössen bekannt sind:

a) Umkreisradius r = 630 mm, Seite b = 735 mm, Winkel γ = 110° und δ = 95°

b) Seiten a = 8 cm und c = 7 cm, Diagonale e = 10 cm, Winkel β = 83°.

Lösung zu a:

e = 1260·sin 85° = 1255,2053

sin α₁ = 735/1260 →α₁ = 35,685 °

α₂ = 34,32

γ₁ = 180° - 85° - 35.68° = 59,32°

γ₂ = 110° – 59.32° = 50,68

a= 1260·sin (59.32° ) = 1083,638344

b = 1260·sin(35.68°) = 734,904708

c = 1260·sin(34.32°) = 710,406115

d = 1260·sin (50.68°) = 974,760029

u = 3503,7

A = ½·1083.64 · 974.76·sin (80°) + ½ 734.90· 710.40 sin 100° = 520120.76206 + 257070,74932301 = 777190 mm² = 7.771 dm²

Aufgabe 7

Von einem Trapez ist gegeben:
Seite a = 9 cm
Seite c = 6 cm
Seite d = 5 cm
Winkel α = 40°
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes. Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Aufgabe 8

Berechnen Sie den Flacheninhalt eines Rhombus (=Raute) aus der Seite s = 5 cm und dem Winkel α = 50° .

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Aufgabe 9

In einem Parallelogramm ABCD ist gegeben:

Seite a = 9 cm

Seite b = 4 cm

Diagonale f = BD = 7 cm

Berechnen Sie den Winkel α.

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Aufgabe 10

Von der abgebildeten Figur ist Folgendes gegeben:

AB = 10cm

AC = 30cm

β = <DBA = 50°

α = <CAD = 28°

a) Berechnen Sie den Winkel φ = <BAC .

b) Berechnen Sie die Länge der Strecke AD.

c) Berechnen Sie die Länge der Strecke CD.

d) Berechnen Sie den Winkel γ = <DCA .

Geben Sie die Resultate auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Es sind alle Gleichungen, die zur Lösung führen, zwingend zu notieren.

Aufgabe 11 

Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit folgenden Massen:

Seite AB = 15.0 cm

Winkel β = 62°

Diagonale AC = 13.5 cm

Winkel γ > 90°

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen BD.

Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an.

Aufgabe 12 

In einem Sehnenviereck sind die Seiten a = 5.0 cm, b = 3.2 cm, d = 3.4 cm und der Winkel α = 80° gegeben. Berechnen Sie die beiden Diagonalen e und f sowie den Winkel β.  

Lösung:

f = 5.536

δ 1 = 34.69

β1 = 45.31

β2 = 37.211

β = 82.52

e = 5.5742

Aufgab 13

Messwerte:

s = 510 m; α₁ = 27°, α₂ = 70°; β₁ = 76°, β₂ = 40° Bestimme: PQ = x

Lösung:

a= 348.86

b = 507.86

x = 347.09