Trigonometrie I         Rechtwinkliges Dreieck

Formeln

sin (α) = GK/HY

cos (α) = AK/HY

tan (α) = GK/AK

Drillaufgaben: Rechtwinkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und gleichschenkliges Trapez

Drill.Trigo

Test.TrigoI

Aufgabe 1

Eine Bergspitze S erscheint von einem Punkt A aus unter einem Höhenwinkel von α = 18°. Berechnen Sie BS

für AB = 350 m.

 Lösung: BS = 350·tg(α) =113.7 m

Aufgabe 2

Die Zugbrücke einer Burg ist 8 m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von 43°. Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?  

Lösung: s = 8 ÷sin(43°) = 11.73 m

Aufgabe 3

Berechnen Sie die fehlenden Bestimmungsstücke der folgenden rechtwinkligen Dreiecke:

a) a = 32.25 m     b = 27.11 m         Lsg:     c = 42.13 m,       α =49.95° = 50°

b) a = 19.12 cm     c = 53.34cm     Lsg:     b = 49.8 cm;     α =21.01° = 21°

c) a = 29.6 cm     α = 36.5°            Lsg:     sin 36.5° = 29.6/c;     c = 49.76 cm; b = 40 cm

Aufgabe 4

a) Berechnen Sie die Länge der Strecke CD ein.

b) Berechnen Sie den den Winkel β ein.

Lösung:

a)

CD ÷ 4.87 = sin 34 → CD = 4.87 · sin 34 = 2.723

b) D = 90° – 34°     D = 180° - (90° - 34°) = 90° + 34° = 124°

B = (180° -124°)/2 = 28°

cos β = ( 4.87 + 2.723)/8.60 →β  =  28°

Aufgabe 5

Bestimmen Sie die fehlenden Stücke (α, β und a) des Dreieck ABC:

b = 4.5 cm, c = 5 cm, h_c = 3 cm

Lösung:

sin(α) = 3/4.5 → α = 41.81°

AHc = 3.354 → BHc= 1.646

tg β= 3 /1.646 → β = 61.25°

Aufgabe 6

Der Bordcomputer eines Kleinflugzeuges, das in 800 m Höhe fliegt, berechnet anhand der in der Grafik aufgeführten Daten die Länge der Landebahn. Trage die Landebahnlänge unten ein. Runde auf Meter.  

Lösung:

x ÷ 800 = tg(57°) → x = 1232

y ÷ 800 = tg(70) → y = 2198

s = 966

Aufgabe 7

Von einem nicht rechtwinkligen Dreieck sind die fehlenden Seiten und Winkel zu berechnen:

a) a = 4.38,     b = 6.15,     h_c = 3.71 (das Dreieck ist spitzwinklig)

Lösung:

sinα =3.71/6.15 → α =37.1°

sin β = 3.71/4.38 → β =57.9°

γ = 85°

c = 7.24

b) a = 0.62,     b = 0.83,    h_b = 0.38 (γ < 90°)

Lösung:

sin γ = 0.38÷0.62 → γ = 37.8°

tan α = 0.38 /0.34 → α = 48.2°

c = 0.51

β = 94°

c) h_a = 4.2,      β = 37°,        γ = 46°

Lösung:

α = 97

4.2 /c = sin 37° → c = 6.98

4.2/b = sin 46° → b = 5.83

a = 9.61

d) a = 6.2,        c = 5.6,         β = 35°

Lösung:

hc÷6.2 =sin 35 → hc = 3.55

tg α = 3.55/0.517 →α = 81.7°

γ = 63.3°

b= 3.587

Aufgabe 8

Der Mittelpunkt des Ziffernblattes einer Turmuhr befindet sich in h = 60 m Höhe und erscheint von einem bestimmten Punkt aus unter dem Erhebungswinkel von α = 42.16°. Der untere Rand des Zifferblattes erscheint vom selben Punkt aus unter einem Erhebungswinkel von β = 41.16°. Berechnen Sie den Durchmesser x des Ziffernblattes. 

Lösung:

 e = 66.26 →h₁ = 57.93

also d = 2· 2.07 m = 4.14 m

Aufgabe 9

Berechnen Sie die Höhe und die Fläche im untenstehenden gleichschenkligen Trapez.

Berechnen Sie die Höhe und die Fläche im untenstehenden gleichschenkligen Trapez.

Lösung:

tg 56° = h ÷ 10.8 → h = 10.8 · tg 56° =16.01

A = 16.01 · 40.8 = 653.2 cm²

Aufgabe 10

Ein bei den Eckpunkten A und C rechtwinkliges Drachenviereck hat eine 7.5 cm lange Diagonale  AC.  Der Innenwinkel <CBA misst 76°.

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen BD und die Seitenlängen des Drachenvierecks.

Lösung:

AB = 3.75 ÷ sin (38°) = 6.091 cm

AD = 3.75 ÷ sin(52°) = 4.759 cm

BD = 7.73 cm (Pythagoras)

Aufgabe 11

Das gleichschenklige Trapez ABCD ist gegeben durch die parallelen Seiten a = 45 und c = 33 sowie die Diagonale e = 89. Wie gross sind seine Basiswinkel?

Lösung:

h² = 89² – 39² =6400 → h = 80

tg α = 80 ÷ 6 → α = 85.71°

Aufgabe 12

Im Quadrat ABCD gilt: AB = 6,  DE = 4

Wie groß ist der Winkel ε?  

Lösung:

tg(l) = 6 ÷ 4 → l = 56.31°

tg(r)= 6 ÷ 2 → r = 71.57

ε = 180° – 56.31° - 71.57° = 52.12°

Aufgabe 13

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind a = 5 cm, c = 6.4 cm und γ = 90°. Berechnen Sie die Winkel α, β und die Winkelhalbierende w_β.

Lösung:

sin α = 5 ÷6.4 → α = 51.38°

β = 38.82°

5 ÷ wβ =cos (19.31°) → wβ = 5/cos(19.31°) = 5.298

Aufgabe 14

Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (γ = 90°) kennt man die Seite b = 6 cm und die Seitenhalbierende der Seite a s_a = 7 cm. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks.

Lösung:

a = 2 √{ 7² + 6²} = 7.211

c √{62 + 7.211 ²} = 9.381

tg α = 7.211 ÷ 6 → α = 50.24°

Aufgabe 15

Beim Langstreckenschwimmen am Barleber See bei Magdeburg werden Dreieckskurse mit Bojen für Wettkämpfe abgesteckt (siehe Bild 3).

a) Ein Kurs führt von B₁ über B₂ und B₃ zurück zu B₁. Berechnen Sie die Länge der Wettkampfstrecke für diesen Kurs.

b) Die Hauptwettkampfstrecke führt von B₁ über B₂, B₃ und B₄ zurück zu B₁.

Berechnen Sie die Länge der Hauptwettkampfstrecke.

Lösung:

B₁B₃ = sin(52°)·792 = 624.1

B₂B₃ =cos 52° · 792 = 487.6

B₃B₄ = tg(31) · 625.1 = 375

B₁B₄ = √{375² + 624.1 ²} = 728.1

 a) 792+487.6 +624.1 =1903.7 m

b) 792 + 487.6+375 +728.1 = 2382 m

Aufgabe 16

Berechnen Sie den schraffierten Flächeninhalt (r = 10 cm). Runden Sie Ihr Resultat auf 3 sign. Stellen.

Lösung:

β = arc tg(1.1÷2) = 28.81°

rechtwinkliges Dreieck: A = 0.5 20 11 = 110 cm²

Dreieck AMS: A = ½ r·r sin(180° – 2·28.81°) = 42.22 cm²

Sektor ACS: A = 2 28.81/360 π·r² = 50.28

schraffierte A: A = 110 – 42.22 – 50.28 =17.5 cm²

Halbkreis: A = 0.5 π·r² = 157.1

Sektor AMS: A = [(180 – 2 28.81 )÷360 ]π·r² = 106.8

schraffiert A: A = 110 – 157.1 + ( 106.8 – 42.22) = 17.46 cm