Winkelhalbierende
1. Fomel
a÷ca = b÷cb
Beweis:
Dreieck BCE: 180°-γ + 2ε = 180° → ε = ½γ
DCA = EBC → DC // BE
also a÷b = ca÷cb QED
2. Formel
2 cos (½γ) ÷w =1/a + 1/b
Beweis mit cosinus-Satz
oder
EB = 2 a·cos(½γ)
w÷b = 2 a·cos(½γ) ÷ {a+b}
2 cos(½γ) ÷ w = (a + b) ÷ (a·b) = 1÷ a + 1 ÷ b
QED
q. e. d. steht für: quod erat demonstrandum, lateinisch für: was zu beweisen war, Abschluss einer Beweisführung in Mathematik und Philosophie.
Aufgabe 1
In nebenstehender Abbildung (nicht massstabsgetreu) gilt AB || CD.
a) Berechne x, y und z.
b) Eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z, die A in C überführt, bildet ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 578 cm² in ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A`. Berechnen Sie A`.
Lösung:
a) 17/ 25 = x/40 → x = 27,2
y=40-27.2 = 12.8
z / 27.2 = 4/ 12.8 → z =8,5
b) A = 578 (12.5 / 8.5) ² =1250 cm²
Aufgabe 2
Ein Kirchturm wird wie in der Zeichnung dargestellt vermessen.
(a) Wie hoch ist der Turm?
(b) Wie lang ist eine Kante?
Lösung:
√ (6.08² – 6²) = 0,9664
h /6 =( h - 6) / 4 → 4 h = 6 h -36 → h = 18 m
a = 3 · 6.08 = 18.24 m
Aufgabe 3
Das Parallelogramm ABFD hat die Seitenlängen DF = 10.5 cm und BF = 2.0 cm
a) Berechnen Sie DE aus DC = 5 cm
b) Geben Sie das Verhältnis CE ÷CB an. Zeigen Sie, dass man dieses Verhältnis auf zwei verschiedene Weisen berechnen kann.
Lösung:
a) 10.5 ÷ 7 = x ÷ 5 → x = 7.5
b) CE ÷ CB = 5 ÷ 7 = 7.5 over 7.5
6
Aufgabe 4
In den folgenden(nicht massstabsgetreuen) Figur gilt ED || AB. Gegeben sind die Streckenlängen,,,,,.
Berechne die Streckenlängen ,, und.
Lösung:
AF ÷ 1.4 = 6 ÷ 2 → AF = 4.2
BF ÷ (6.7 – BF) = 6 ÷ 2 → BF =5.05
CD ÷ 8.2 = 2 ÷ 6 → CD = 2.733
AC → 8.2 = 4.7 ÷ 5.466 → AC = 7.05
Aufgabe 5
Berechne jeweils x und y. Zeichnungen sind nicht massstabsgetreu !
Lösung:
{x-2} ÷ 3 = 12 ÷ 10 → x = 5.6
{y-1} ÷ 3 = y ÷ 10 → y = 10÷7 = 1.42
Aufgabe 6
Berechne jeweils x und y. Zeichnungen sind nicht massstabsgetreu !
Lösung:
4x ÷ 6 ={ x + 5} ÷ {x+3} → 2 x² + 3 x - 15 = 0 → x = 2.089
{2 y - 2} ÷ 6 = y ÷ {x + 3} → x = 2.435
Aufgabe 7
In der Figur verhalten sich die Seiten des Rechtecks AEFD wie diejenigen des Rechtecks ABCD; ferner ist . Berechnen Sie das Verhältnis von Längen und Breite des grossen Rechtecks.
Lösung: DA = x AE = 1
d = √(1+x²)
1+√{1+x²} over x = x over 1
→ x =√3
Aufgabe 8
Bestimme die Breite a eines Kanals, wenn folgende Strecken gemessen werden:
b= 12 m, c=30 m und d = 22 m
Lösung:
a÷12 = (a+30)÷22 → a = 36
Aufgabe 9
Berechne die Entfernung der Punkte A und B, wenn folgende Streckenlängen vermessen werden: m = 100m, n = 25m, a = 20m
Lösung:
x ÷ 100 = 20 ÷ 25 → x = 80 m
Aufgabe 10
In einer Dachschräge mit den angegebenen Massen soll in halber Höhe ein Regalbrett angebracht werden. Welche Tiefe x muss es haben?
Lösung:
0.9 ÷ 2.2 = x – 0.4 ÷ 1.1 → x = 0.85 m
Aufgabe 11
Bestimme den Abstand der Punkte A und B.
Lösung:
x÷160 = 560÷240→ x = 373.333
Aufgabe 12
Bestimmen Sie den Flächeninhal des Dreiecks AED. w ist de Winkelhalbierende.
Lösung:
CA = √{40²-24²} = 32
24÷CD = 40÷DA und CD + DA = 32 →CD = 12 und DA = 20
A = ½·12·24 = 144
Aufgabe 13
Einem Quadrat mit der Seitenlänge s = 24 cm ist ein rechtwinkliges Dreieck umschrieben, dessen eine Kathete dreimal so lang ist wie die andere. Berechnen Sie die Längen der beiden Katheten.
Lösung:
3 = a÷ b = {a - s} ÷ s → 3 s = a – s → a = 96, b =32
Aufgabe 14
Berechnen Sie die schraffierte Fläche.
Lösung:
12 ÷ 18= ( 15 - x ) ÷ x
12 x =18 ·15 -18 x
30 x = 18 · 15
x = 9
A = 0.5·18·9 = 81
Aufgabe 15
Gegeben sind a und b.
¾₁₂⅓⅔⁴⅕⅖
Lösung:
b over b/2 = h over a/2 -h
b a/2 -bh =½ hb
ba -2bh = hb
ba = 3bh
h = ⅓ a
A = b ⅓ a + ½ b ⅙ a = 5/12 ab
Aufgabe 16
Knacknuss! A'B' ist die Parallele zu AB durch den Inkreismittelpunkt des rechtwinkligen Dreiecks ABC. Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C'?
Lösung:
BC = 9
(x+3)² + 9² = (x+6)²
x² +6 x + 9 + 81 = x² + 12 x + 36
54 = 6 x → x = 9
a= 9, b = 12 und c = 15
A = 54
h = 7.2
h' = 4.2
A' = 54·(4.2/7.2)² = 18,375
Aufgabe 17
Berechnen Sie den Radius R, wenn folgende Strecken und Beziehungen gegeben sind:
,
,
, .
Das Resultat ist auf zwei Stellen nach dem Komma anzugeben. Bem.: Zur Lösung der Aufgabe dient der Lehrsatz des Pythagoras sowie die Ähnlichkeitsbeziehungen am Kreis (Sehnen- und Sekantensatz etc.)
Hinweis:
Sekantensatz:
Sehnensatz:
Lösung:
AD = 4x AF = 12 x
DE = x
EF = 7x
GE = 7 cm BE = 9 cm
Sehnensatz: 7x · x = 7 cm · 9 cm → x = 3 cm
AD = 12 cm AF = 36 cm
AE = 15 cm BE = 9 cm → AB = 12 cm
Sekantensatz
12 cm ·36 cm = 12 cm · AC → AC = 36 cm also BC = 24
R = √{8² + 12²} = √208 = 4 √13 = 14,42220510185595717
Aufgabe 15
In der folgenden Zeichnung sind gegeben :
Die Längen der Strecken a₁=24 m , a₂ =45 m, b₁ = 60 m, b₂ = 36 m, c₁ = 44 m , c₂ = 103 m.
Berechnen Sie die Länge der Strecken x und y.
Aufgabe 18
Gegeben ist das Rechteck ABCD mit und sowie ein Punkt P auf der Geraden AD. Von P aus wird eine Gerade durch den Punkt B so gelegt, dass der Flächeninhalt des Trapezes ABSD genau 10-mal so gross wird wie derjenige des Dreiecks BCS.
a) Wie lang ist die Strecke ?
b) Wie lang ist die Strecke ?
Lösung:
½(x+a) b = 10 · ½ (a-x) b
x + a = 10 a -10 x
11 x = 9a
x = 9/11 a
DP ÷ b = 9/11 ÷ 2/11 → DP = 4.5 b