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Winkelfunktionen

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Nullstellen

a) 2 cos²(x) + 3 cos(x) + 1 = 0

b) sin(x) + sin(x)·cos(x) = 0

c) 2 sin²(x) - sin (x) = 0

Lösung:

a) faktorisieren

[2 cos(x) +1] ·[cos(x) +1] = 0

cos(x) = - ½ →x = ⅔ π (120°); ⁴/₃ π(240°)

cos(x) = -1 → x = π

b) faktorisieren:

sin(x) ·[1 + cos(x) ] = 0

Nullstellen:

sin(x) = 0 →x = 0,π, 2 π

cos(x) = -1 → x=   π

c) faktorisieren

sin(x)·[2 sin(x) - 1]

Nullstellen

sin(x) = 0 → x = 0, π, 2 π

sin(x) = ½  → x = ⅙π (30°), ⁵/₆  π ( 150°)

Aufgabe 2

Berechnen Sie alle x ∈[0 π ; 3 π ] für die gilt:

sin²(x) - 1 = 0

Resultate sind im Bogenmass anzugeben.

Lösung:

sin(x) = +1 → x = ½ π; 5/2 π

sin(x) = -1 → x = 3/2 π

Aufgabe 3

Berechnen Sie alle x ∈[0 π ; 3 π ] für die gilt:

( cos(x) – ½) (sin(x) -1) = 0

Resultate sind im Bogenmass anzugeben.

Lösung:

cos(x) = ½ → x = ⅓ π; 5/3 pi

sin(x) = 1 → x = ½ π; 5/2 pi

Aufgabe 4

Berechnen Sie alle x∈[π ; 3 π] für die gilt:

2 sin²(x) + sin(x) - 1 = 0

Resultate sind im Bogenmass anzugeben.

Lösung:

faktorisieren:    [2 sin(x) - 1]· [sin(x) + 1]=0

sin x = ½ → x = ⅙ π; 5/6 π; 13/6 π; 17/6 π, 30° und 150°

sin x = -1 → x = 3/2 π    270°

Aufgabe 5

Berechnen Sie alle x ∈[0 π ; 2 π ] für die gilt: sin²(x) - cos²(x) - 1 = 0

Lösung:

sin²(x) - cos²(x) - 1 = 0

sin²(x) - [1- sin²(x)] - 1 = 0

sin²(x) = 1

sin²(x) = +-1 → x = ½ π, 3/2 π

Additions-Theoreme

sin(x±y)=sin(x) cos(y) ± cos(x) sin (y)

Aufgabe 6

Lösung:

Bestimmen Sie die Winkelfunktion

f ( x ) = sin ( x )        f ( x ) = sin ( ½ x )        f ( x ) = 2 sin ( ½ x ) - 1        f ( x)  = 2 sin ( ½ ( x - 90°)) - 1

Aufgabe 7

 Aufgabe 8

Aufgabe 9

Ermitteln Sie sämtliche Lösungen zwischen 0° und 360° der trigonometrischen Gleichung:

sin ( 60 ° + α) = 2 · sin (60°-α)

Lösung:

sin 60° cos α + cos 60° ·sin α  =2  [sin 60° ·cos α -cos 60° ·sin α]

tg α = √3 ÷ 3

  α = 30°             α = 210°

Aufgabe 10

Ermitteln Sie für D_x = { x ∈ℜ | 0 ≤ x ≤ 2π } sämtliche Lösungen der goniometrischen Gleichung:

sin(x+¼ π) = - ½

sin(-⅙π) = sin(⁷/₆ π) = sin( ¹¹/₆ π) = -½

-⅙π= x +¼ π → x = -⁵/₁₂π = -1,308996938995

⁷/₆π =x +¼ π → x = ¹¹/₁₂ π = 2,8797932657906

¹¹/₆ π = x +¼ π → x =¹⁹/₁₂ π =4,974188

xxx

Aufgabe 11

Berechnen Sie alle Lösungen für x ∈  ] 0 ; 2 π  [.

[sin (½ π - x ) - ½ ]·[(tan(x) + √3)] = 0

Lösung :

Teil A    arc sin(½) = 30° = ⅙π und 150° = 5π/6

   ½ π - x = ⅙ π → x = ⅔ π = 120°

5π/6 = ½ π -x → x = -⅓ π → x = -⅓ π + 2π = 5/3 π

⅓⅙⅔

arc tan(-√ 3) = -60°; 120° → x = -⅓ π; ⅔ π

Aufgabe 12

Unter dem Graphen der Sinusfunktion wird ein Trapez gemäss Skizze einbeschrieben. Berechnen Sie x₂ so, dass der Inhalt der Trapezfläche 0.7 Einheiten beträgt. Es sind alle Lösungen für x ∈  ] 0 ; 2 π  [ zu suchen. Runden Sie Ihre Resultate auf 3 sign. Stellen.  

Lösung:

¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖⁻ ⁺⁶³ℓ

a) A = 0.5 · (x₂-x₁) · (y₁+y₂) = 0.5 · (x-0.3) · ( sin(0.3) + sin(x) ) =0.7→x = 1.38 und 2.9

b) Maximum ca x = 2.2

Aufgabe 2

Ermitteln Sie für D_x = { x ∈ℜ | 0 ≤ x ≤ 2 π } sämtliche Lösungen der goniometrischen Gleichung:

sin(x+¼ π) = - 0.5.

Lösung: x+¼ π = -⅙ π → x = - ⁵/₁₂ π

x+¼ π = π + ⅙ π → x = π - ¹/₁₂ π

x+¼ π = π - ⅙ π → x = ⁷/₁₂ π

Aufgabe

Für folgende Aufgaben gilt: D_x = { x ∈ℜ | 0 ≤ x ≤ 2 π } 

a) Berechnen Sie alle x, für die gilt sin(x) = -½

b) Berechnen Sie alle x, für die gilt sin(2 x + 20°) = -½

Lösung:

a) x = 210° und x = 330° oder -30°

b) 2 x + 20° = 210° → x = 95°  und 2 x + 20° = 570° → x = 275°

2 x + 20° = 330° → x = 155° und 2 x + 20° = 690° → x = 335°

Aufgabe 

Berechnen Sie alle Lösungen für cos(x) = sin (65 °)

Lösungen: sin(x) = cos(x-90°) also x1 = -25 ° = 335°    und                cos(x) = cos(-x) also x2 = 25°

Aufgabe

Berechnen Sie die Lösungen für cos(x) = - sin(15°)

Lösungen: - sin( x) = sin(-x)

-sin 15° = sin(-15°) = cos(-15°-90°) = cos(-105°) = cos(105°) also x = 105° und x = 255°

Aufgabe 

Berechnen Sie die Lösungen für cos(x) = sin(pi over 3)

Lösung:    x = 30 ° und x = -30° = 330 °

Aufgabe

n)Berechnen Sie die Lösungen für x : sin(x) = cos(-11pi/6)

Lösung:     -11π/6 = -330° = 30° x = 60° und x = 120°

Aufgabe

o)Berechnen Sie x für cos(2x) =½

Lösung:

2 x = 60° → x = 30°

2 x = 420° → x = 210°

2 x = 300° → x = 150°

2 x= 660° → x = 330°

Entscheiden sie ob die Aussageforemn von p) – s) allgemein gültig sind

p) cos(x) = sin(90°-x)         ja Spiegung an x = 45°

q) cos(x) = cos(270°+x)     nein, Periodizität 360°, wäre sin(x)

r) cos(x) -cos(180°-x)         ja Punktspiegelung an x= 90°

s)sin(x) = -sin(-x)                 ja Punktspiegelung an x = 0

w) Vereinfachen Sie: cos(x) -cos(π-x)

Lösung:    cos(x) + cos(x) = 2 cos(x) Punktspiegelung an x = ½π und y = 0

t) Berechnen Sie cos(α) aus sin (α) = 5 over 3

Lösung: cos α = 1 – cos2 α = 1 – 25 /169 = 12/13

u)Berechnen Sie tan (α) aus sin(α) = 3/5

cos α = 1 – 9/25 = 16/25 = 4/5

tanα = sin(α) over tan α = 3/4

v) Vereinfachen Sie: sin(x) + sin(π -x)

Lösung: sin(π -x) = sin (x), Spiegelung an x =½ π    also sin(x) + sin(π -x) = 2 sin(x)