Aufgabe 5
Der vertikale Querschnitt einer Talsenke verläuft durch die drei Punkte A ( -10 / 50 ); B ( 40 / 237.5 ) und C ( 50 / 500 ) und hat näherungsweise die Form einer Parabel.
Auf Grund des grossräumigen Zusammenhangs befindet sich der Ursprung des x-y-Koordinatensystems nicht auf dem Rand der Talsenke.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, die durch die drei Punkte A, B und C verläuft. Sie entscheiden selbständig in welcher Form Sie die Gleichung der Parabel angeben.
b) Der Punkt D liegt auf der Parabel und hat eine Höhe von 100 m. Wie viele Meter links von C befindet sich der Punkt D?
c) Bestimmen Sie den tiefsten Punkt der Parabel, stellvertretend für den tiefsten Punkt der Talsenke.
Auf der Höhe von Punkt C und 5 m rechts davon wird ein 45 m hoher Aussichtsturm errichtet. Er endet im Punkt E.
Vom Aussichtsturm lässt sich nicht die ganze Talsenke überblicken. Das mögliche Sehfeld ist in der Abbildung links schraffiert hervorgehoben.
d) Wie viele Meter rechts von A endet das Sehfeld, wenn die Talsenke durch die Parabel angenähert wird?
Aufgabe 6
Ein Ball, der von einem Jungen in 1.6 Meter Höhe abgeworfen wird, erreicht nach 20 Metern mit 8 Metern über dem Boden seinen höchsten Punkt.
a) Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem.
b) Bestimme die Gleichung der parabelförmigen Flugbahn des Balles.
Lösung:
Scheitelform y = a · (x - 20)² + 8
1.6 = a · (0 - 20)²+8 also a = - 0,016
y= -0.016·(x - 20)² +8 ausmultipliziern
Aufgabe 10
Gegeben ist die Parabel p: y = x² - 2 k · x – 2 k mit k R.
a) Setzen Sie k = 1.
Berechnen Sie den Scheitelpunkt der Parabel p.
Berechnen Sie die Nullstellen von p. Exakte Werte.
Skizzieren Sie die Parabel p, qualitative Skizze.
b) Berechnen Sie k so, dass der Punkt R(1|2) auf der Parabel p liegt.
Lösung :
a) y = x² - 2 x - 2 = ( x - 1 )² -3
Scheitelpunkt xS = -(-2) ÷ 2 = 1 yS = -3
x₁,₂ = ( +2 +- √ {4 +8})/2 = 1 + √3
b) 2 = 1 - 2 k - 2k → k = - ¼
Aufgabe 11
Mit einem Drahtzaun der Länge 200 m sollen sechs rechteckige Felder so eingefasst werden, wie rechts dargestellt ist.
Seitenlängen der Felder: d m bzw. f m. Die Felder sollen zusammen einen möglichst grossen Flächeninhalt haben. Berechnen Sie d.
Lösung :
A = (d + f) (4d)
200 = 8 d + 2 d + 2 f → f = 100 – 5d
A = ( 100 – 4 d ) ( 4 d )
d₁ = 0 d₂ = 25 dmax = 12.5
fmax = 37.5
Amax = 50 · 50 =2500 Quadrat logo
Aufgabe 12
Ein Basketballspieler wirft einen Basketball schräg nach oben und trifft den Korb genau in der Mitte, vgl. Skizze. Abwurfhöhe hA = 2.13 m Korbhöhe hK = 3.05 m maximale Wurfhöhe hmax = 3.91 m horizontale Distanz zwischen Spieler und Korb: d = 4.11 m. Berechnen Sie eine Funktionsgleichung für die parabelförmige Bahnkurve des Basketballs. Runden Sie Ihre Resultate auf 3 sign. Stellen.
Aufgabe 13 Tangente an Parabel
Gegeben ist die Parabel y = x² - 6 x + 10 und die Gerade g: y = 3 x + b
a) Berechnen Sie b so, dass die Gerade g Tangente an die Parabel ist.
b) Welche Koordinaten hat der Berührungspunkt?
Lösung:
a)
Schnittpunkt:
x² - 6 x +10 = 3 x + b
x² -9 x + (10 - b) = 0
Berührungspunkt ergibt genau eine Lösung (Diskriminante D = 0)
D = 81 - 4· 1·(10 - b) = 41 + 4 b = 0 → b = -10.25
b)
Lösung für b = -10.25
x² - 6 x + 10 = 3 x - 10.25
0 = x² - 9 x + 20.25 = (x - 4.5)² → x = 4.5
y = 3 x + 10.25 = 3·4.5 + 10.25 = 13.5 -10.25 = 3.25
y = x² - 6 x + 10 = 4.5² - 27 + 10 = 30.25 - 27 = 3.25
Berührungspunkt B (4.5 / 3.25)
Aufgabe 14 Tangente an Parabel
Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sowie
die Parabel p: y = 2 x² - 5 x + 3 und die Gerade t: y = - a·x -5
a) Berechnen Sie a so, dass die Gerade t die Parabel p berührt.
b) Berechnen Sie die Koordinaten von einem der beiden Berührungspunkte
Lösung:
a) Bedingung für genau einen Schnittpunkt
2x² -5 x + 3 = - a·x - 5
2x²+ (a - 5) ·x + 8 = 0
D = (a - 5)² -4 ·2 ·8 = a² -10 a + 25 – 64 = a² - 10 a – 39 = (a - 13)·(a + 3 )
Tangente 1: y = - 13 x -5
Tangente 2: y = 3 x -5
b) Schnittpunkt
D = 0
x = -b ÷{2 a} = - (a - 5) ÷4
a= 13 x₁ = -2 y₁ = 21
a= -3 x₂ = 2 y₂ = 1
⅛₁₂
Aufgabe 20
Von einer Parabel p kennt man die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse N₁(5/0)und N₂(-3; 0). Ausserdem weiss man, dass die Parabel ebenfalls durch den Punkt Q(2/−3)geht.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel p in der Form y = p(x) = a x² + b x + c.
b) Verwandeln Sie die Funktionsgleichung von (a). in die Scheitelform y = p(x) = a·(x −u)² + v
c) Wie müssen Sie den Definitionsbereich D = R einschränken, damit die Funktion umkehrbar? wird?
d) Geben Sie die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion an.
Lösung:⅖⅕
a) -3 = a(2 – 5)·(2 + 3) → a = ⅕ → y = ⅕ (x - 5)·(x + 3) = ⅕ x² -⅖·x -3
b) y= ⅕ ( x - 1)² -3⅕·
c) x ≥ 1
d) y = 1+√{16+5 x}
Aufgabe
Die Parameter m und q sind so zu bestimmen, dass die Gerade g(x) = m·x + q eine Tangente der Normalparabel p(x) = x² wird und durch den Punkt P geht:
y = x²
y = m · x+q
x² = mx + q → x² – m·x – q = 0
D = m² +4 q = 0
a) P₁( 5 / - 11)
-11 = 5 m + q → q = -11-5m
m · x -11 - 5 m = x²
D = m² – 4·(11+5m) = 0
m² - 44 -20 m = (m-22)·(m+2)
m₁ = -2 und q₁ = -1
m₂=+ 22 und q₂ = -121
b) P₂(-0.25/-1.5)
-1.5 = -0.25 m + q → q = 0.25 m – 1.5
D = m² + 4 q = m² + 4(-1.5 + 0.25 m) = m² + m -6 = (m-2)·(m+ 3)
m₁ = 2 und q₁= -1
m₂ = - 3 und q₂ = -2.25
c) P₃(1.5/0)
0 = 1.5 m + q
D = m² + 4 q = m² -6m = m·(m-6)
m₁ = 0 und q₁ = 0
m₂ = 6 und q₂ = -9
d) P₄(3/9)
9 = 3 m + q
D = m² + 4q = m² +4(9-3m) =m² -12 m + 36 = (m-6)²
m₁,₂ = 6 und q₁,₂ = -9
P₄ liegt auf der Parabel
₃₄
Gegeben ist die Parabel p: y = - x² - 2 x und die Gerade g: y= m ·x
Die Schnittpunkte der beiden Graphen und ihre Achsenschnittpunkte bilden die Eckpunkte eines Dreiecks.
a) Erstellen Sie eine qualitative Skizze der beiden Graphen für m = 2
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks für m = 2
c) Berechnen Sie m so, dass der Inhalt der Dreiecksfläche 10 Flächeneinheiten beträgt.
Geben Sie das Resultat auf 3 sign. Stellen gerundet an.⅛₁₂
Lösung:
b) -x²- 2 x = 2 x → 0 = x² + 4 x → x₁ = 0/ y₁ = 0 und x₂ = -4, y₂ = -8
A = ½ · 2 · 8 = 8
c)
Die Parabel hat immer die Achsenschnittpunkte (Nullstellen): N₁(0 / 0) und N₂(- 2/0)
Für die Gerade gilt das Gleiche: N₁(0/0)
TR: Grafikmodus oder Solver
⅛₁₂
Für den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden gilt:
m·x = - x² – 2 x → 0 = -x² - (2 + m)·x → 0 = -x·(x+2+m)
also
1. Lösung: x₁ = 0 und y₁ = 0 entspricht der Nullstelle N1(0/0), die unabhängig von m ist
2. Lösung: x₂ = -2 – m und y₂ = m·x₂ = m·( - 2 - m)= - m·(2 + m)
Die Lösungen können auch mit dem SOLVER berechnet werden.
Die Grundseite ist immer noch g = 2. Für die Höhe ergibt sich h = 10, da A = ½ g · h
also
y = 10: -m·(2 + m) = 10 TR oder Mitternachtsformel: false, also keine Lösung für positive y Werte.
y= - 10 - m·(2 + m) = -10 TR oder Mitternachtsformel: m = -4.317 und m = 2.317
Aufgabe
Die Parabel mit p(x) = ¼ x² – 12 x + 32 wird an der geraden g oder am Punkt P gespiegelt. Geben sie die Funktionsgleichung der Bildparabel an:
a) g(x) = -2 b) g(x) = 13 c) P1(4 /0) d) P2(-6/-12)
Lösung:
u = 24 v = -112
y = ¼ (x – 24)² + 108
a)
u=24 v= -2+(-2 -(-112)) = 108 a = - ¼
y= -¼ (x – 24)² + 108 = -¼ x² + 12 x -36
b)
a) u=24 v= 13+(13 -(-112)) = 138 a = -¼
y= -¼ (x – 24)² + 138 = -¼ x² + 12 x -6
c) u = -16 v= 112
y= -¼ (x +16)² + 112 = -¼ x² -8 x +48
d) u = -6-30 = -36 v= -12+100 = 88
y= -¼ (x +36)² + 88 = -¼ x² -18 x -236
Aufgabe 3
Die Kirchenfeldbrücke in Bern hat einen Bogen, welcher einer Parabel ähnlich ist. Der Scheitelpunkt ist 32 m über dem Wasserspiegel. Die Hauptpfeiler haben auf Wasserhöhe einen Abstand von 87 m voneinander.
l Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift der vermeintlichen Parabel dieses Bogens. Skizzieren Sie dazu ein Koordinatensystem direkt ins Bild, das zu einer möglichst einfachen Lösung führt.
ll Ein Vermessungspunkt liegt 30 m seitlich vom Scheitel und 11.2 m tiefer auf dem Stahlbogen.
Untersuchen Sie, ob dieser Punkt auf der von Ihnen berechneten Parabel liegt oder nicht, und entscheiden Sie dann, ob der Bogen tatsächlich einer Parabel entspricht.
