hello analysis

Mathematiker sterben nicht, sie verlieren nur einige ihrer Funktionen!

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen : f(x) = 1/x und g(x)= x

a) Berechnen Sie den Schnittpunkt.

b) In welchem Bereich gilt: g(x) > f(x)

Lösung:

a) Schnittpunkt?

x=1/x →x² = 1 →x²-1 = 0 → ( x - 1) · (x + 1) = 0 → x₁ = 1 und x₂ = -1

b) g(x) >  f(x)         Lösungsmenge?

x > 1/x        *x, x>0

x² > 1

(x - 1) ( x + 1 )  >  0

also x > 1     pos · pos

also x < -1   neg · neg   aber Widerspruch zu x>0

x > 1/x        *x, x<0

x² < 1

(x-1) · (x+1) <0

also  -1  < x < 1      neg · pos =neg       also mit x < 0 ergibt sich -1 < x<0

Lösungsmenge

L ={ x I  -1 < x < 0 oder x>1} 

Gegeben ist die Exponentialfunktion f(x) = y =   k  exp(-x²)  0.5  mit k  R und k  0

e ist die Eulersche Zahl.

a) Bestimmen Sie das Maximum der Funktion und die Nullstellen von f in Abhängigkeit von k.

b) Erstellen Sie eine qualitative Skizze für k  2 und bestimmen Sie den Wertebereich in Abhängigkeit von k  0 .

Lösung: a)  x= 0 → y = 1 - 0.5 = 0.5 (Maximum)

b) k exp(-x2) = 0.5 → ln k - x rsup 2 = ln(0.5) → x = ± √{lnk + ln 0.5