Aufgaben zu Umformungen von Logarithmen und Logarithmengleichung
¾⁸₀₃⅙₁₂⅓⅔⁴⅕⅖¾
Aufgabe 1 Vereinfachen Sie: a) log( 119/3 ) + log( 105/7 ) + log( 4/17 ) Lösung: log( 140 ) b) 2 log( 5 ) + ⅓ log( 27 ) – log( 15 ) Lösung: log(5) c) log ( a b ) + log( a/b ) – 2 log ( a ) Lösung: log( 1 ) = 0 d) lg(119/21) + lg(105/14) + lg(4/17) Lösug: 1 |
Logarithmusgleichungen
Aufgabe 2
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:
|
a) lg ( x - 1 ) = 3 |
Lösung: x = 1001 |
|
b) log( x + 5 ) +log ( x - 2 ) = log ( 8 ) |
Lösung: x₁=3 x₂ = -6 (Schein) |
|
c) log (x + 5 ) + log (x - 2 ) = log ( 60 ) |
Lösung: x₁ = 7; x₂ =-10 (Schein) |
|
i) 3 lg( x - 1) – 2 lg (27) = 0 |
Lösung: x = 10 |
Aufgabe 3
|
a) lg ( x ) = 1 – lg ( x – 3 ) |
Lösung: x₁ = 5 (x₂ = -2) |
|
b) lg x = 2 - lg ( x – 15 ) |
Lösung: x = 20 |
|
c) lg ( 5 x ) = 2 - lg ( x - 1 ) |
Lösung: x₁ = 5 x₂ = -4(Schein) |
|
d) lg ( 2 x ) = 1 – lg (x -4) |
Lösung: x₁ = 5 x₂ = -1 (Schein) |
log₂ (x+ 7) + log2 (x) = 3 Lösung: (x+7) x = 8 →x² +7x -8 = 0 (x+8)·(x-1) = 0 x =1 x = -8 (nicht im Definitionsbereich)
f) log₂ (x + 3) + log₂( x - 2) = 1 + log ₂ (x ) Lösung: (x+3)(x-2) = 2 x → x₁ =3; x = -2 ("Schein")
|
g) ( lg ( x ) - 1) ÷ (2 lg( x ) + 1 ) = 1 ÷5 |
x = 100 |
|
h) 2 ( lg ( x ) )² - 5 lg ( x ) - 3 = 0 |
x = 1000 |
|
k) [log ( 2 x )]² – 7 log (2 x) + 12 = 0 |
x = 500 und x = 5000 |
|
j) lg(x) [lg(x) -5 ] +6 = 0 |
x1 = 100 und x₂ = 1000 |
₁₁₂₃₄⁴⁵
log ₂(x) - ln3 div ln2 = 2- log₃(2) -log₂(x-3) Lsg: x = 4 (x = -1 Schein)
12ln(x) = 2 · 3ln(x) →ln(x) = ½ → x = √e
Aufgabe 2
Stellen Sie in der Form z · 10n, wobei -10 < z < 10 die Zahl:
243112609 wobei lg(2) = 0.3 und lg(5) = 0.7
Lösung:
lg (243112609) = 43112609 · lg 2 = 12933782.7
also: 1012933782.7 = 10 0.7 · 10 293378 = 5·101293378
Lösen von Exponentilagleichungen
Aufgabe
Lösen Sie die folgende Gleichung exakt mit Hilfe des Zehnerlogarithmus:
a) 3x-1 = 4 Lösung: (x-1)·lg 3 = lg 4 →x = (lg 3 + lg 4)/ lg 3
b) 0.4 · 7x = 8 Lösung: x lg 7 = lg 20→ x = lg20/lg 7
Aufgabe 1
Lösen Sie folgende Gleichungen nach x auf. Kontrollieren sie jeweils ob es keine „Scheinlösung“ist.
a) lg(x³) - lg(x) = 4
Lsg: 2 lg (x) = 4 →x =100
b) x^{lg(x)} - 10000 = 0
Lsg: lg x · lg x = 4 lg(x) = +-2 →x1 = 100, x2 = 0.01
c) 2 · ln ( x + 5 ) = ½ ln(x rsup 4)
Lsg.: (x + 5)²= x² → 10 x + 25 = 0 → x = -2.5
d) lg (2 over {x² – 2} ) + lg( 5 x ) = 1
Lsg: 10x = 10(x² - 2) → x² -x-2=(x-2)(x+1) = 0 → x1= 2, x2= -1(Schein)
e) lg(x + 4) + lg (x) = 2 · lg( x + 1 )
Lsg.: (x + 4)·x=(x+1)² → x²+ 4 x = x²+ 2 x + 1 → x = ½
f) 3^{x-1} = {1÷27}·3^{2·x}
3^{x-1} = 3^{2 x-3 }→ x = 2
(x-1) ln(3) = -3 ln(3) + 2x ln(3) → x - 1 = - 3 + 2 x → x = 2
g)
(lg (2 x ))² – 7 lg( 2 x ) + 12 = 0
Lösung: (lg(2x) - 3)·(lg(2x) -4) = 0 →x₁ = 500 und x₂ = 5000
h) x³ = 10 · x rsup {1 + lg (x)}
Lsg.:
3 lg x = lg 10 + (1+lg(x) ) ·lg(x)
0= [lg(x)]² – 2 lg x + 1 =(lg(x)-1)·(lg(x)-1) → lgx= 1 → x= 10
Aufgabe 2
lg(5) =0.7 und lg(2) = 0.3
Gegeben ist die Exponentialgleichung
a^x – 5^ {x+1} + 4 =0
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge wenn a = 1 ist?
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge wenn a = 25 ist.
Lösung:
a) a = 1 5 = 5 rsup x+1 → x = 0
b) a = 25 5 2x – 5 5x +4 = 0
(5 rsup x -4)( 5 rsup x – 1) = 0
x= 0 und x = ln4/ln5 ≈ 6/7
Aufgabe 4
Es gilt: log( x + y ) = 2
Berechnen Sie den Wert des nebenstehenden Terms: log(x - y) + log (√{x + y} ) – log ( {x² – y²} ÷ {(x + y)² } )
Lösung: log √{x+y} + log (x+y) = 3
Aufgabe 5
Vereinfachen Sie folgende Terme. Es soll jeweils nur noch einmal ein Logarithmus vorkommen.
Hinweis: lg[f(x)]
a) 2 lg(x - 2) – lg (x² - lb (16) )
b) 5 lg ( x + 2 ) – 0.2 lg( x - 2) – 4 lg( x + 2) – 0.8 lg( x - 2)
Lösung:
a) lg[(x-2) ÷ (x + 2)]
b) lg [ (x+2) ÷ (x - 2)]